Analysis Beispiele

$\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{35}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 7$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.7.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 \cdot x^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - (5 x - 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.9.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.9.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (5 x - 7) x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Schritt 3.9.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))$ heraus.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{35}$ mit $\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{35 x^{4}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x - 3 (5 x) - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{5 x - 15 x - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 7$ .

$\frac{5 x - 15 x + 21}{35 x^{4}}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $15 x$ von $5 x$ .

$\frac{- 10 x + 21}{35 x^{4}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{- (10 x) + 21}{35 x^{4}}$

Schritt 6.4

Schreibe $21$ als $- 1 (- 21)$ um.

$\frac{- (10 x) - 1 (- 21)}{35 x^{4}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 x) - 1 (- 21)$ heraus.

$\frac{- (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Schritt 6.6

Schreibe $- (10 x - 21)$ als $- 1 (10 x - 21)$ um.

$\frac{- 1 (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 x - 21}{35 x^{4}}$