Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} (\sqrt{5 x} + 3 x) (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$lim_{x \to 5} \sqrt{5 x} + 3 x \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$(lim_{x \to 5} \sqrt{5 x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + lim_{x \to 5} 3 x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 4$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot (lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 4)$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 4)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$(\sqrt{5 lim_{x \to 5} x} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 lim_{x \to 5} x) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$(\sqrt{5 \cdot 5} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$(\sqrt{25} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(\sqrt{5^{2}} + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$(5 + 3 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$(5 + 15) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.2

Addiere $5$ und $15$ .

$20 \cdot (5^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$20 \cdot (25 - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$20 \cdot (25 - 4)$

Schritt 10.4

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$20 \cdot 21$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $20$ mit $21$ .

$420$