Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} x (x + \sqrt{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} x \cdot lim_{x \to 4} x + \sqrt{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} x \cdot (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} \sqrt{x})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$lim_{x \to 4} x \cdot (lim_{x \to 4} x + \sqrt{lim_{x \to 4} x})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot (lim_{x \to 4} x + \sqrt{lim_{x \to 4} x})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot (4 + \sqrt{lim_{x \to 4} x})$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot (4 + \sqrt{4})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 \cdot (4 + \sqrt{2^{2}})$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \cdot (4 + 2)$

Schritt 5.2

Addiere $4$ und $2$ .

$4 \cdot 6$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24$