Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \sin (\frac{- 5 π}{x} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 4} \frac{- 5 π}{x} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sin (lim_{x \to 4} \frac{- 5 π}{x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $- 5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (- 5 π lim_{x \to 4} \frac{1}{x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sin (- 5 π \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sin (- 5 π \frac{1}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $\frac{3 π}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sin (- 5 π \frac{1}{lim_{x \to 4} x} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sin (- 5 π \frac{1}{4} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $- 5 π \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 5$ .

$\sin (\frac{- 5}{4} π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $\frac{- 5}{4}$ und $π$ .

$\sin (\frac{- 5 π}{4} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (- \frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{- 5 π - 3 π}{4})$

Schritt 3.3

Subtrahiere $3 π$ von $- 5 π$ .

$\sin (\frac{- 8 π}{4})$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 π$ heraus.

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4})$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4 (1)})$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4 \cdot 1})$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{- 2 π}{1})$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $- 2 π$ durch $1$ .

$\sin (- 2 π)$

Schritt 3.5

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0)$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$