Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{5 (x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$5 \frac{lim_{x \to 4} (x - 4) \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 \frac{(4 - 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8.3

Addiere $4$ und $12$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{16}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5 \frac{0 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.2.8.6

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$5 \frac{0}{4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Schritt 2.1.3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}$

Schritt 2.1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4 + 12}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Addiere $4$ und $12$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 2.1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 \frac{0}{4 - 4}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 12}$ als ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 12$ .

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Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.11

Bringe ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.14

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $x - 4$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.17

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.19

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.20

Addiere $1$ und $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.21

Mutltipliziere ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22

Vereinfache.

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Schritt 2.3.22.1

Mutltipliziere $x - 4$ mit $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.2

Um ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.3

Kombiniere ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.22.5.1

Multipliziere ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.22.5.1.1

Bewege ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.2

Vereinfache ${(x + 12)}^{1} \cdot 2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + (x + 12) \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + x \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.5

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.6

Addiere $x$ und $2 x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x - 4 + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.22.5.7

Addiere $- 4$ und $24$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.23

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \sqrt{x + 12}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.24

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Schritt 2.3.25

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

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Schritt 2.3.25.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 12}$ als ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.25.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.25.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 12$ .

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Schritt 2.3.25.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Schritt 2.3.25.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Schritt 2.3.25.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Schritt 2.3.25.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])}$

Schritt 2.3.25.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [12])}$

Schritt 2.3.25.6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.25.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.25.12

Addiere $1$ und $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Schritt 2.3.25.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Schritt 2.3.25.14

Mutltipliziere $\frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 2.3.25.15

Bringe ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.26

Subtrahiere $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + 12}$ um.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + 12}$ um.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 12}$

Schritt 2.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 2 \sqrt{x + 12}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}} \sqrt{x + 12}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}}$ und $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}$ heraus.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{x + 12}$ heraus.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 (\sqrt{x + 12})}$

Schritt 2.7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x + 12}$ .

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Schritt 2.7.2.2

Dividiere $- (3 x + 20)$ durch $1$ .

$5 lim_{x \to 4} - (3 x + 20)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \cdot - 1 lim_{x \to 4} 3 x + 20$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$5 \cdot - 1 (lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 20)$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20)$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + 20)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 \cdot 4 + 20)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (3 \cdot 4 + 20)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- 5 (12 + 20)$

Schritt 5.3

Addiere $12$ und $20$ .

$- 5 \cdot 32$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $32$ .

$- 160$