Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{7 lim_{x \to 4} \frac{x^{2}}{6 + x}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt{7 \frac{lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + 4}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $7$ und $\frac{4^{2}}{6 + 4}$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{6 + 4}}$

Schritt 8.2

Addiere $6$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{10}}$

Schritt 8.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 16}{10}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $7$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{112}{10}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $112$ und $10$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $112$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (56)}{10}}$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{56}{5}}$

Schritt 8.6

Schreibe $\sqrt{\frac{56}{5}}$ als $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$ um.

$\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 8.7.1.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (14)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.7.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.9.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 8.9.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 8.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 8.9.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 8.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.10.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 14}}{5}$

Schritt 8.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Dezimalform:

$3.34664010 \dots$