Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x - 1}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 1}{lim_{x \to 4} x - 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x - 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x - 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 1}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 1 \cdot 1}{4 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{16 - 1 \cdot 1}{4 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{16 - 1}{4 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$\sqrt{\frac{15}{4 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{15}{4 - 1}}$

Schritt 9.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\sqrt{\frac{15}{3}}$

Schritt 9.6

Dividiere $15$ durch $3$ .

$\sqrt{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{5}$

Dezimalform:

$2.23606797 \dots$