Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{16 - x^{2}}{\sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} 16 - x^{2}}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 16 - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{16 - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{16 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{4 x} - lim_{x \to 4} x}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} 4 x} - lim_{x \to 4} x}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} x}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 4} - lim_{x \to 4} x}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 4} - 4}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 4}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 4}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{16 - x^{2}}{\sqrt{4 x} - x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x} - x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{4 x} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [{(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [{(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.3

Wende die Produktregel auf $4 (x)$ an.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.7.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [2^{1} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.7

Berechne den Exponenten.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.16

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.18

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.7.19

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Schritt 1.4

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 4} \frac{x}{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{\frac{lim_{x \to 4} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{\frac{lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{\frac{1 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \frac{lim_{x \to 4} x}{\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 2 \frac{4}{\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 2 \frac{4}{\frac{1 - \sqrt{4}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 2 \frac{4}{\frac{1 - \sqrt{4}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 2 (4 \frac{\sqrt{4}}{1 - \sqrt{4}})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 2 (4 \frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - \sqrt{4}})$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 2 (4 \frac{2}{1 - \sqrt{4}})$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 2 (4 \frac{2}{1 - \sqrt{2^{2}}})$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 2 (4 \frac{2}{1 - 1 \cdot 2})$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (4 \frac{2}{1 - 2})$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 (4 (\frac{2}{- 1}))$

Schritt 4.4

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$- 2 (4 \cdot - 2)$

Schritt 4.5

Multipliziere $- 2 (4 \cdot - 2)$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 2 \cdot - 8$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$16$