Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{10}{\frac{x}{x - 4}} - \frac{5}{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} \frac{10}{\frac{x}{x - 4}} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{x}{x - 4}} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 3

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 lim_{x \to 4} 1 \frac{x - 4}{x} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{x}$ mit $1$ .

$10 lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$10 \frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$10 \frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$10 \frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{5}{2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $\frac{5}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$10 \frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x} - \frac{5}{2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$10 \frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x} - \frac{5}{2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$10 \frac{4 - 1 \cdot 4}{4} - \frac{5}{2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{4 - 1 \cdot 4}{4} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 5 \frac{4 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{4 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{4 - 1 \cdot 4}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 \frac{4 - 4}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4 - 4}{2}$ .

$\frac{5 (4 - 4)}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 4$ und $2$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $5 (4 - 4)$ heraus.

$\frac{2 (5 (2 - 2))}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 (2 - 2))}{2 (1)} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (2 - 2))}{2 \cdot 1} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (2 - 2)}{1} - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.4.2.4

Dividiere $5 (2 - 2)$ durch $1$ .

$5 (2 - 2) - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$5 \cdot 0 - \frac{5}{2}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 - \frac{5}{2}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $\frac{5}{2}$ von $0$ .

$- \frac{5}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$- 2.5$