Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} 4 x^{2} - 3 x + \sqrt{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot 4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 + \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$4 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 + \sqrt{4}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $4$ mit $4^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{2}$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 + \sqrt{4}$

Schritt 7.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 + 2} - 3 \cdot 4 + \sqrt{4}$

Schritt 7.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$4^{3} - 3 \cdot 4 + \sqrt{4}$

Schritt 7.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 3 \cdot 4 + \sqrt{4}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$64 - 12 + \sqrt{4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$64 - 12 + \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$64 - 12 + 2$

Schritt 7.2

Subtrahiere $12$ von $64$ .

$52 + 2$

Schritt 7.3

Addiere $52$ und $2$ .

$54$