Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{2 - \sqrt{6}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2 - \sqrt{6}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} lim_{x \to 4} x^{2} - 16$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} (lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16)$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} ({(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16)$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} ({(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{6}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{2 - \sqrt{6}} \cdot \frac{2 + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{6}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{6}}{(2 - \sqrt{6}) (2 + \sqrt{6})} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 + \sqrt{6}}{4 + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$\frac{2 + \sqrt{6}}{- 2} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 + \sqrt{6}}{2} (4^{2} - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 + \sqrt{6}}{2} (16 - 1 \cdot 16)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- \frac{2 + \sqrt{6}}{2} (16 - 16)$

Schritt 3.7

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$- \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \cdot 0$

Schritt 3.8

Multipliziere $- \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ .

$0$