Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3 x}{2}$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{3 x}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3 x}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3 x}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{\frac{3 x}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{2}{3 x})$

Schritt 5.2

Kombiniere $\sin (\frac{3 x}{2})$ und $\frac{2}{3 x}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 2}{3 x}$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$

Schritt 5.4

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ .

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 (3 x)}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{9 x}$