Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - \frac{π}{1})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Dividiere $π$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - π)$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{3 π}{4}$ annähert.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{4}} π)$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{3 π}{4}$ annähert.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{3 π}{4}$ für $x$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.2

Kombiniere $- π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4})$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sec (\frac{3 π - π \cdot 4}{4})$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\sec (\frac{3 π - 4 π}{4})$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $4 π$ von $3 π$ .

$\sec (\frac{- π}{4})$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (- \frac{π}{4})$

Schritt 3.6

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sec (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sec (\frac{π}{4})$

Schritt 3.8

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.10.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.10.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.10.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.11.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.41421356 \dots$