Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{\ln (x) - \ln (6)}{x - 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \ln (x) - \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 6}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \ln (x) - lim_{x \to 5} \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 6}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 5} x) - lim_{x \to 5} \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\ln (6)$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 5} x) - \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 6}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 5} x) - \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 6}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 5} x) - \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\ln (5) - \ln (6)}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\ln (5) - \ln (6)}{5 - 1 \cdot 6}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{6})}{5 - 1 \cdot 6}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{6})}{5 - 6}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{6})}{- 1}$

Schritt 8.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{5}{6})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 8.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{5}{6})$ als $- \ln (\frac{5}{6})$ um.

$- \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \ln (\frac{5}{6})$

Dezimalform:

$0.18232155 \dots$