Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3.9} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3.9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3.9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - lim_{x \to 3.9} 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3.9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - 2}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3.9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3.9} \sqrt{x} - lim_{x \to 3.9} 2}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - lim_{x \to 3.9} 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3.9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3.9} x - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - 1 \cdot 2}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3.9$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3.9$ für $x$ .

$\frac{3.9 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 3.9} x} - 1 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3.9$ für $x$ .

$\frac{3.9 - 1 \cdot 4}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3.9 - 4}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $4$ von $3.9$ .

$\frac{- 0.1}{\sqrt{3.9} - 1 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$ mit $\frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2}$ .

$- (\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2})$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $\frac{0.1}{\sqrt{3.9} - 2}$ mit $\frac{\sqrt{3.9} + 2}{\sqrt{3.9} + 2}$ .

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{(\sqrt{3.9} - 2) (\sqrt{3.9} + 2)}$

Schritt 8.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{{\sqrt{3.9}}^{2} + \sqrt{3.9} \cdot 2 - 2 \sqrt{3.9} - 4}$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$- \frac{0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0.1$ und $- 0.1$ .

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Schritt 8.8.1

Schreibe $0.1$ als $- 1 (- 0.1)$ um.

$- \frac{- 1 (- 0.1) (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- 1 \cdot - 0.1 (\sqrt{3.9} + 2)}{- 0.1}$

Schritt 8.8.3

Dividiere $- (\sqrt{3.9} + 2)$ durch $1$ .

$- - (\sqrt{3.9} + 2)$

Schritt 8.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- \sqrt{3.9} - 1 \cdot 2)$

Schritt 8.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (- \sqrt{3.9} - 2)$

Schritt 8.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- - \sqrt{3.9} - - 2$

Schritt 8.12

Multipliziere $- - \sqrt{3.9}$ .

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Schritt 8.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{3.9} - - 2$

Schritt 8.12.2

Mutltipliziere $\sqrt{3.9}$ mit $1$ .

$\sqrt{3.9} - - 2$

Schritt 8.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sqrt{3.9} + 2$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{3.9} + 2$

Dezimalform:

$3.97484176 \dots$