Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{5 x}{x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x + 2}$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$0 - lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 2}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$0 - 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$0 - 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$0 - 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$0 - 5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Schritt 5.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$0 - 5 \frac{1}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$0 - 5 \frac{1}{1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - 5 \frac{1}{1 + 0}$

Schritt 7.1.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 5 (\frac{1}{1})$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 5 (\frac{1}{1})$

Schritt 7.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$