Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{8 \sqrt{x} - x^{2}}{8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 8 \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 8 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 8 - lim_{x \to 4} 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{8 - lim_{x \to 4} 4 \sqrt{x} c}$

Schritt 8

Ziehe den Term $4 c$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{8 \sqrt{4} - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{8 \sqrt{4} - 4^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{8 \sqrt{4} - 4^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{8 \sqrt{2^{2}} - 4^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{8 \cdot 2 - 4^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.1.6

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{8 - 4 c \sqrt{4}}$

Schritt 11.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{8 - 4 c \sqrt{2^{2}}}$

Schritt 11.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{8 - 4 c \cdot 2}$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{0}{8 - 8 c}$

Schritt 11.2.5

Faktorisiere $8$ aus $8 - 8 c$ heraus.

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Schritt 11.2.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{0}{8 (1) - 8 c}$

Schritt 11.2.5.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 c$ heraus.

$\frac{0}{8 (1) + 8 (- c)}$

Schritt 11.2.5.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (1) + 8 (- c)$ heraus.

$\frac{0}{8 (1 - c)}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$\frac{8 (0)}{8 (1 - c)}$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 0}{8 (1 - c)}$

Schritt 11.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{1 - c}$

Schritt 11.4

Dividiere $0$ durch $1 - c$ .

$0$