Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} (x^{2} - x - 2) \sqrt{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} x^{2} - x - 2 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$(lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$({(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$({(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$(4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$(4^{2} - 4 - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$(4^{2} - 4 - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(16 - 4 - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(16 - 4 - 2) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$(12 - 2) \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$10 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 7.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$10 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10 \cdot 2$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$20$