Analysis Beispiele

$f (x) = arccot (3 x^{2} - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccot (x)$ und $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arccot (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + 0)$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x)$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Schritt 2.6.4

Kombiniere $\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{- 6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ als $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ um.

$- \frac{6 x}{1 + (3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)}$

Schritt 3.2

Multipliziere $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2} - 1) - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 1}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 6 x^{2} + 1}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{6 x}{9 x^{4} - 6 x^{2} + 2}$