Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt[4]{x} - 2}{\sqrt{x} - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt[4]{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt[4]{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $\sqrt[4]{2^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt{\sqrt{2^{2}}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2} - 2}{2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{2 - 4}$

Schritt 9.2.4

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2}{- 2}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2} - 2}{2}$

Dezimalform:

$0.29289321 \dots$