Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x - 2}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{5 + 0}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Schritt 6.1.2

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1}}$

Schritt 6.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{5}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Schritt 6.4

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$- 5$