Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} - 9 π \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 9 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- 9 π \cos (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{π}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{π}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$- 9 π \cos (\frac{π \cdot 3}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$- 9 π \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 9 π \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 9 π \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.5

Multipliziere $- 9 π \cdot 0$ .

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 9$ .

$0 π \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Schritt 8.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$0 \cdot \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Schritt 8.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$0 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 8.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 8.10

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 8.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1$

Schritt 8.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0$