Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \cos (\frac{1}{x} - \frac{1}{3})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - \frac{1}{3})$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\cos (lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{3})$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\cos (\frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{3})$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\cos (\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{3})$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\cos (\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{3})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\cos (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{1 - 1}{3})$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\cos (\frac{0}{3})$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\cos (0)$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$