Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + 2 \cos (x π)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 3} \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$4 \sin (lim_{x \to 3} x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Schritt 4

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 lim_{x \to 3} \cos (x π)$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (lim_{x \to 3} x π)$

Schritt 7

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 \sin (3 \cdot π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 \sin (π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$4 \sin (0) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Schritt 9.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$0 + 2 \cos (3 \cdot π)$

Schritt 9.1.7

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$0 + 2 \cos (π)$

Schritt 9.1.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Schritt 9.1.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 9.1.10

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 9.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Schritt 9.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$