Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 9}{x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} 5 x + 7}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} 5 x + lim_{x \to - 3} 7}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Addiere $- 3$ und $9$ .

$\frac{6}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{- 15 + 7}}$

Schritt 11.2.3

Addiere $- 15$ und $7$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 11.2.4

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}}$

Schritt 11.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{6}{9 \cdot - 2}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$\frac{6}{- 18}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 18$ .

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (1)}{- 18}$

Schritt 11.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 3}$

Schritt 11.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 3}$

Schritt 11.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3}$

Schritt 11.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$