Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{1 x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + 3}}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 3}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{9 + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15.1.2

Addiere $9$ und $7$ .

$\frac{3 \sqrt{16}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{6 + 3}}$

Schritt 15.2.3

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{9}}$

Schritt 15.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{3^{2}}}$

Schritt 15.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 1 \cdot 3}$

Schritt 15.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 3}$

Schritt 15.2.7

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{3}$

Schritt 15.4

Dividiere $12$ durch $3$ .

$4$