Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 27}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.4

Addiere $2$ und $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.5

Subtrahiere $81$ von $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1}}$

Schritt 12.8

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{8}}$

Schritt 12.9

Dividiere $- 64$ durch $8$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Schritt 12.10

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 12.11

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$- 2$