Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{\frac{x - 4}{6 \cdot x^{2} + 2}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 3} \frac{x - 4}{6 \cdot x^{2} + 2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 4}{lim_{x \to - 3} 6 \cdot x^{2} + 2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 4}{lim_{x \to - 3} 6 \cdot x^{2} + 2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 3} 6 \cdot x^{2} + 2}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 3} 6 \cdot x^{2} + lim_{x \to - 3} 2}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 4}{6 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 4}{6 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 4}{6 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 2}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{6 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 2}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{6 {(- 3)}^{2} + 2}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 3 - 4}{6 {(- 3)}^{2} + 2}}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 7}{6 {(- 3)}^{2} + 2}}$

Schritt 10.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 7}{6 \cdot 9 + 2}}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 7}{54 + 2}}$

Schritt 10.5

Addiere $54$ und $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 7}{56}}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 7$ und $56$ .

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Schritt 10.6.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\sqrt[3]{\frac{7 (- 1)}{56}}$

Schritt 10.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.6.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $56$ heraus.

$\sqrt[3]{\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 8}}$

Schritt 10.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[3]{\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 8}}$

Schritt 10.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{\frac{- 1}{8}}$

Schritt 10.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt[3]{- \frac{1}{8}}$

Schritt 10.7

Schreibe $- \frac{1}{8}$ als ${(- \frac{1}{2})}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 10.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$