Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(v^{2} (3 v) + v^{2} \cdot - 4) (9 - v^{2})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(3 v^{2} v + v^{2} \cdot - 4) (9 - v^{2})$

Schritt 2.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $v^{2}$ .

$(3 v^{2} v - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Schritt 2.4

Multipliziere $v^{2}$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $v$ .

$(3 (v \cdot v^{2}) - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $v$ mit $v^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$(3 (v^{1} v^{2}) - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 v^{1 + 2} - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(3 v^{3} - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

$(3 v^{3} - 4 v^{2}) (9 - v^{2})$

Schritt 2.5

Multipliziere $(3 v^{3} - 4 v^{2}) (9 - v^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 v^{3} (9 - v^{2}) - 4 v^{2} (9 - v^{2})$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 v^{3} \cdot 9 + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} (9 - v^{2})$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 v^{3} \cdot 9 + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$27 v^{3} + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{3} v^{2} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $v^{3}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 (v^{2} v^{3}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{2 + 3} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.3.3

Addiere $2$ und $3$ .

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{5} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 v^{2} (- v^{2})$

Schritt 2.6.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{2} v^{2}$

Schritt 2.6.7

Multipliziere $v^{2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.7.1

Bewege $v^{2}$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 (v^{2} v^{2})$

Schritt 2.6.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{2 + 2}$

Schritt 2.6.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{4}$

Schritt 2.6.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} + 4 v^{4}$