Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}}$

Schritt 1.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Schritt 1.1.3.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 18 + 9}}$

Schritt 1.1.3.7.3

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{- 9 + 9}}$

Schritt 1.1.3.7.4

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{0}}$

Schritt 1.1.3.7.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{0^{2}}}$

Schritt 1.1.3.7.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Schritt 1.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]$ als $\frac{d}{d x} [x + 3]$ um.

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}}]}$

Schritt 1.3.5.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.3.5.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}]}$

Schritt 1.3.5.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x + 3)}^{2}}]}$

Schritt 1.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Schritt 1.3.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $2 x + 3$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$2 lim_{x \to - 3} x + 3$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 + 3$

Schritt 4.2

Addiere $- 6$ und $3$ .

$- 3$