Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} (4 x - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} (\frac{4 x (x - 3)}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3} (6 + x - x^{2})$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3}$ mit $6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} (4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - 2 \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} x - 3 - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 3} 6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.9

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.12.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.1.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{(12 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$\frac{(0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(0 - 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.12.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.4

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{- 2 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.5

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{- 2 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.2.12.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 3.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - 12 x - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 2$ und $g (x) = 6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) \frac{d}{d x} [6 + x - x^{2}] + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - (2 x)) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 12 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.15

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.18

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.19

Addiere $8 x - 12$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20

Vereinfache.

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Schritt 3.3.20.1

Faktorisiere $1$ aus $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ heraus.

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Schritt 3.3.20.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ heraus.

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))$ heraus.

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.2

Mutltipliziere $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 3} \frac{(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.20.4.1

Multipliziere $(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$lim_{x \to 3} \frac{1 (4 x^{2}) + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.20.4.2.1

Mutltipliziere $4 x^{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.2

Mutltipliziere $- 12 x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.20.4.2.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.20.4.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{2 + 1} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.20.4.2.8.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.3

Addiere $4 x^{2}$ und $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.4

Addiere $- 12 x$ und $4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.5

Multipliziere $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 6 (8 x) + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.20.4.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x \cdot x + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.20.4.6.4.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.5

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 \cdot x - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.20.4.6.7.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.20.4.6.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.6.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.7

Subtrahiere $12 x$ von $48 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 + 8 x^{2} - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.4.8

Addiere $8 x^{2}$ und $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3} + 20 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.5

Addiere $28 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.6

Addiere $- 8 x$ und $36 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 2 - 8 x^{3} - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.7

Subtrahiere $72$ von $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 8 x^{3} - 74 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.20.8

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $- 8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.21

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 3.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 3.3.23

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + 0}$

Schritt 3.3.24

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$ durch $1$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $48$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$48 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $28$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $74$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$48 \cdot 9 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $48$ mit $9$ .

$432 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $28$ mit $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Schritt 6.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 27 - 1 \cdot 74$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $27$ .

$432 + 84 - 432 - 1 \cdot 74$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $74$ .

$432 + 84 - 432 - 74$

Schritt 6.2

Addiere $432$ und $84$ .

$516 - 432 - 74$

Schritt 6.3

Subtrahiere $432$ von $516$ .

$84 - 74$

Schritt 6.4

Subtrahiere $74$ von $84$ .

$10$