Analysis Beispiele

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3 - 4 k}{2}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k - \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{29} k$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{3}{2}) (29)$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $(\frac{3}{2}) (29)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $29$ .

$\frac{3 \cdot 29}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $29$ .

$\frac{87}{2}$

Schritt 2.3

Berechne $2 \sum_{k = 1}^{29} k$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{29 (29 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1.1

Addiere $29$ und $1$ .

$- 2 \frac{29 \cdot 30}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $29$ mit $30$ .

$- 2 (\frac{870}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{870}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{870}{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 870$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $870$ .

$- 870$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{87}{2} - 870$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $- 870$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} - 870 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $- 870$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} + \frac{- 870 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{87 - 870 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 870$ mit $2$ .

$\frac{87 - 1740}{2}$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $1740$ von $87$ .

$\frac{- 1653}{2}$

Schritt 2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1653}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{12} k$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{3}{2}) (12)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{3}{2} (2 (6))$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} (2 \cdot 6)$

Schritt 3.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 6$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18$

Schritt 3.3

Berechne $2 \sum_{k = 1}^{12} k$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1.1

Addiere $12$ und $1$ .

$- 2 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $13$ .

$- 2 (\frac{156}{2})$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{156}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{156}{2}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 156$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $156$ .

$- 156$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$18 - 156$

Schritt 3.5

Subtrahiere $156$ von $18$ .

$- 138$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- \frac{1653}{2} + 138$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Um $138$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + 138 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $138$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + \frac{138 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1653 + 138 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $138$ mit $2$ .

$\frac{- 1653 + 276}{2}$

Schritt 5.4.2

Addiere $- 1653$ und $276$ .

$\frac{- 1377}{2}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1377}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1377}{2}$

Dezimalform:

$- 688.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 688 \frac{1}{2}$