Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{s} - \frac{1}{3}}{s - 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{\frac{1}{s} - \frac{1}{3}}{s - 3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\frac{1}{s} - \frac{1}{3}}{s - 3}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $s \cdot 3$ .

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{s} - \frac{1}{3}}{s - 3}$ mit $\frac{s \cdot 3}{s \cdot 3}$ .

$\frac{s \cdot 3}{s \cdot 3} \cdot \frac{\frac{1}{s} - \frac{1}{3}}{s - 3}$

Schritt 2.1.2

Kombinieren.

$\frac{s \cdot 3 (\frac{1}{s} - \frac{1}{3})}{s \cdot 3 (s - 3)}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{s \cdot 3 \frac{1}{s} + s \cdot 3 (- \frac{1}{3})}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $s$ aus $s \cdot 3$ heraus.

$\frac{s (3) \frac{1}{s} + s \cdot 3 (- \frac{1}{3})}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s \cdot 3 \frac{1}{s} + s \cdot 3 (- \frac{1}{3})}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + s \cdot 3 (- \frac{1}{3})}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 + s \cdot 3 \frac{- 1}{3}}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $s \cdot 3$ heraus.

$\frac{3 + 3 \cdot s \frac{- 1}{3}}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 3 \cdot s \frac{- 1}{3}}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + s \cdot - 1}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $s$ .

$\frac{3 - 1 \cdot s}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $- 1 s$ als $- s$ um.

$\frac{3 - s}{s \cdot 3 s + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1

Bewege $s$ .

$\frac{3 - s}{s \cdot s \cdot 3 + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$\frac{3 - s}{s^{2} \cdot 3 + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $s^{2}$ .

$\frac{3 - s}{3 \cdot s^{2} + s \cdot 3 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $s$ .

$\frac{3 - s}{3 s^{2} + 3 \cdot s \cdot - 3}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{3 - s}{3 s^{2} - 9 s}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $3 s$ aus $3 s^{2} - 9 s$ heraus.

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $3 s$ aus $3 s^{2}$ heraus.

$\frac{3 - s}{3 s (s) - 9 s}$

Schritt 2.5.5.2

Faktorisiere $3 s$ aus $- 9 s$ heraus.

$\frac{3 - s}{3 s (s) + 3 s (- 3)}$

Schritt 2.5.5.3

Faktorisiere $3 s$ aus $3 s (s) + 3 s (- 3)$ heraus.

$\frac{3 - s}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - s$ und $s - 3$ .

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Schritt 2.6.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- 1 (- 3) - s}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- s$ heraus.

$\frac{- 1 (- 3) - (s)}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (s)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 3 + s)}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (s - 3)}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (s - 3)}{3 s (s - 3)}$

Schritt 2.6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3 s}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3 s}$