Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.2

Addiere $9$ und $7$ .

$\frac{\sqrt{16} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 5}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.7

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$\frac{4 + \sqrt{4}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{3 + 2}$

Schritt 14.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 + 2}{3 + 2}$

Schritt 14.1.10

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6}{3 + 2}$

Schritt 14.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{6}{5}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{6}{5}$

Dezimalform:

$1.2$