Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{x - 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $v (x^{2} - x - 2)$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{v (3^{2} - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{v (9 - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{v (9 - 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{v (6 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1}}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2}$