Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})}{6 (3 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{2 + 6 (\frac{- 1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 + 2 (3) \frac{- 1}{2}}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 2 \cdot 3 \frac{- 1}{2}}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 3 \cdot - 1}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 3}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.4

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{18 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 9.5.2

Multipliziere $6 (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{18 + 6 \cdot - 2}$

Schritt 9.5.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{- 1}{18 - 12}$

Schritt 9.5.3

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$\frac{- 1}{6}$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{6}$

Dezimalform:

$- 0.1\overline{6}$