Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} - 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x - 8}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 8}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 1} - 1 \cdot 3}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 3}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 3}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 3}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 - 3}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10.1.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{3 - 1 \cdot 8}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 1}{3 - 8}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$\frac{- 1}{- 5}$

Schritt 10.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{5}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{5}$

Dezimalform:

$0.2$