Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.4

Subtrahiere $2$ von $27$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{25}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{9 + 3 - \sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{9 + 3 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.8

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.1.9

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$\frac{7}{\sqrt{3 + 1}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{7}{\sqrt{4}}$

Schritt 13.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 13.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{7}{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{2}$

Dezimalform:

$3.5$