Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{t^{3} - 27}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $\frac{1}{t^{3} - 27}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{t^{3} - 27} lim_{x \to 3} x^{4} - 81$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{1}{t^{3} - 27} (lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{1}{t^{3} - 3^{3}} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = t$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + t \cdot 3 + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 \cdot t + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 1 \cdot 81)$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 81)$

Schritt 3.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} \cdot 0$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)}$ mit $0$ .

$0$