Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Schritt 1.6

Addiere $2$ und $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{- 6 x + 11}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{- 6 x + 11}$ als $e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}$ um.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{- 6 x + 11})$ durch Herausziehen von $- 6 x + 11$ aus dem Logarithmus.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} - 6 x + 11 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $11$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Bringe $e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(9 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$(9 - 6 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(9 - 6 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$(3 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0 e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$0 e^{- (- 18 + 11) \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.6

Addiere $- 18$ und $11$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Schritt 5.8

Vereinfache $7 \cdot \ln (3)$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Schritt 5.9

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$0 \cdot 3^{7}$

Schritt 5.10

Potenziere $3$ mit $7$ .

$0 \cdot 2187$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $0$ mit $2187$ .

$0$