Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Schritt 7

Kombiniere $- u]_{1}^{0}$ und $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ bei $0$ und $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Schritt 8.2.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 8.2.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 8.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 8.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Schritt 8.2.11.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - - \frac{2}{3}$

Schritt 8.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Schritt 8.2.14

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Schritt 8.2.15

Addiere $0$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$