Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $6$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $512$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Schritt 8.3.2

Schreibe $\sqrt{\frac{256}{3}}$ als $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $\frac{16}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{16}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Schritt 8.3.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Schritt 8.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Schritt 8.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Schritt 8.3.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 8.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$1.15470053 \dots$