Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sin^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 8} x)}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (8)}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (8)}{8^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombinieren.

$\frac{1 \sin^{2} (8)}{3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (8)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (8)}{3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 7.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sin^{2} (8)}{3 \cdot 64}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{{0.1391731}^{2}}{3 \cdot 64}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $0.1391731$ mit $2$ .

$\frac{0.01936915}{3 \cdot 64}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{0.01936915}{192}$

Schritt 7.6

Dividiere $0.01936915$ durch $192$ .

$0.00010088$