Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (3 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (lim_{x \to 8} 3 x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $e^{2 \cdot 8}$ als ${(e^{8})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1^{2}}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{8}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{8} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.1

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1^{2})}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{4}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{4} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.4.1

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2}))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.4.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.1.4.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (24)}$

Schritt 9.2.2

Berechne $\sin (24)$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{({2.71828182}^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.4

Potenziere $2.71828182$ mit $8$ .

$\frac{(2980.95798704 + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.5

Addiere $2980.95798704$ und $1$ .

$\frac{2981.95798704 (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{2981.95798704 ({2.71828182}^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.7

Potenziere $2.71828182$ mit $4$ .

$\frac{2981.95798704 (54.59815003 + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.8

Addiere $54.59815003$ und $1$ .

$\frac{2981.95798704 \cdot 55.59815003 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $2981.95798704$ mit $55.59815003$ .

$\frac{165791.34755607 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.10

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{165791.34755607 ({2.71828182}^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.11

Potenziere $2.71828182$ mit $2$ .

$\frac{165791.34755607 (7.38905609 + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.12

Addiere $7.38905609$ und $1$ .

$\frac{165791.34755607 \cdot 8.38905609 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.13

Mutltipliziere $165791.34755607$ mit $8.38905609$ .

$\frac{1390832.91536521 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.14

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{1390832.91536521 (2.71828182 + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.15

Addiere $2.71828182$ und $1$ .

$\frac{1390832.91536521 \cdot 3.71828182 (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.16

Mutltipliziere $1390832.91536521$ mit $3.71828182$ .

$\frac{5171508.75562519 (e - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.17

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{5171508.75562519 (2.71828182 - 1)}{0.40673664}$

Schritt 9.18

Subtrahiere $1$ von $2.71828182$ .

$\frac{5171508.75562519 \cdot 1.71828182}{0.40673664}$

Schritt 9.19

Mutltipliziere $5171508.75562519$ mit $1.71828182$ .

$\frac{8886109.52050758}{0.40673664}$

Schritt 9.20

Dividiere $8886109.52050758$ durch $0.40673664$ .

$21847329.64630275$