Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{4^{x} - 4^{- x}}{4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4^{x} - 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4^{x} - lim_{x \to 8} 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + lim_{x \to 8} 4^{- x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 4^{- x}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{lim_{x \to 8} - x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $4$ mit $8$ .

$\frac{65536 - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{65536 - \frac{1}{4^{8}}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.3

Potenziere $4$ mit $8$ .

$\frac{65536 - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.4

Um $65536$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{65536 \cdot \frac{65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.5

Kombiniere $65536$ und $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{65536 \cdot 65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{65536 \cdot 65536 - 1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.7.1

Mutltipliziere $65536$ mit $65536$ .

$\frac{\frac{4294967296 - 1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.1.7.2

Subtrahiere $1$ von $4294967296$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $4$ mit $8$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + 4^{- 8}}$

Schritt 11.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + \frac{1}{4^{8}}}$

Schritt 11.2.3

Potenziere $4$ mit $8$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + \frac{1}{65536}}$

Schritt 11.2.4

Um $65536$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 \cdot \frac{65536}{65536} + \frac{1}{65536}}$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $65536$ und $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{65536 \cdot 65536}{65536} + \frac{1}{65536}}$

Schritt 11.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{65536 \cdot 65536 + 1}{65536}}$

Schritt 11.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $65536$ mit $65536$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{4294967296 + 1}{65536}}$

Schritt 11.2.7.2

Addiere $4294967296$ und $1$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{4294967297}{65536}}$

Schritt 11.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4294967295}{65536} \cdot \frac{65536}{4294967297}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $65536$ .

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4294967295}{65536} \cdot \frac{65536}{4294967297}$

Schritt 11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4294967295 (\frac{1}{4294967297})$

Schritt 11.5

Kombiniere $4294967295$ und $\frac{1}{4294967297}$ .

$\frac{4294967295}{4294967297}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4294967295}{4294967297}$

Dezimalform:

$0.99999999 \dots$