Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{7 x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 12

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 16 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.4

Addiere $1024$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{1040 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.5

Addiere $1040$ und $8$ .

$\frac{\sqrt{1048} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.6

Schreibe $1048$ als $2^{2} \cdot 262$ um.

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Schritt 15.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $1048$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (262)} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 40 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.1.9

Addiere $- 40$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{7 \cdot 8 + 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{56 + 1}$

Schritt 15.2.2

Addiere $56$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Dezimalform:

$- 0.11626617 \dots$