Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{3}{8}}{3 - {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $\frac{3}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{8} lim_{x \to 8} \frac{1}{3 - {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 3 - {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} 3 - {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} 3 - lim_{x \to 8} {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - lim_{x \to 8} {(\frac{1}{2})}^{x}}$

Schritt 1.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - {(\frac{1}{2})}^{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - {(\frac{1}{2})}^{8}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - \frac{1^{8}}{2^{8}}}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - \frac{1}{2^{8}}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 - \frac{1}{256}}$

Schritt 3.1.4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{256}{256} - \frac{1}{256}}$

Schritt 3.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{256}{256}$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 256}{256} - \frac{1}{256}}$

Schritt 3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 256 - 1}{256}}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{768 - 1}{256}}$

Schritt 3.1.7.2

Subtrahiere $1$ von $768$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{767}{256}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3}{8} (1 (\frac{256}{767}))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{256}{767}$ mit $1$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{256}{767}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $256$ heraus.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8 (32)}{767}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8 \cdot 32}{767}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{32}{767})$

Schritt 3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{32}{767}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{767}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$\frac{96}{767}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{96}{767}$

Dezimalform:

$0.12516297 \dots$