Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (x - 1) \cdot \frac{x - \sqrt{x^{2} - 6 x}}{x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x - 1 \cdot lim_{x \to 8} \frac{x - \sqrt{x^{2} - 6 x}}{x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \frac{x - \sqrt{x^{2} - 6 x}}{x + 2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 8} \frac{x - \sqrt{x^{2} - 6 x}}{x + 2}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{x^{2} - 6 x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 6 x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - 6 x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 6 x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 6 x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 9

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{8^{2} - 6 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{8^{2} - 6 \cdot 8}}{lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 12.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{8^{2} - 6 \cdot 8}}{8 + 2}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{64 - 6 \cdot 8}}{8 + 2}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{64 - 48}}{8 + 2}$

Schritt 13.1.3

Subtrahiere $48$ von $64$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{16}}{8 + 2}$

Schritt 13.1.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - \sqrt{4^{2}}}{8 + 2}$

Schritt 13.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - 1 \cdot 4}{8 + 2}$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{8 - 4}{8 + 2}$

Schritt 13.1.7

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{4}{8 + 2}$

Schritt 13.2

Addiere $8$ und $2$ .

$(8 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{4}{10}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(8 - 1) \cdot \frac{4}{10}$

Schritt 13.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$7 \cdot \frac{4}{10}$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$7 \cdot \frac{2 (2)}{10}$

Schritt 13.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$7 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Schritt 13.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \cdot \frac{2}{5}$

Schritt 13.6

Multipliziere $7 (\frac{2}{5})$ .

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Schritt 13.6.1

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{5}$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14}{5}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14}{5}$

Dezimalform:

$2.8$