Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (3 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $\sin (3 \cdot 8)$ aus $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ heraus.

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Schritt 11.3

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Schritt 11.4

Schreibe $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Schritt 11.5

Schreibe $\sin (3 \cdot 8)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Dividiere $\sin (3 \cdot 8)$ durch $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Schritt 11.6.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ nach $\csc (5 \cdot 8)$ um.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.7.2

Berechne $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.8

Dividiere $0.40673664$ durch $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.10

Berechne $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Schritt 11.11

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Schritt 11.12

Berechne $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Schritt 11.13

Multipliziere $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

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Schritt 11.13.1

Mutltipliziere $0.40673664$ mit $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Schritt 11.13.2

Mutltipliziere $0.05084208$ mit $0.63276988$ .

$0.03217133$