Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x} - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x} - lim_{x \to 8} \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 2 lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 2 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 2 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 2 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{8} - 2 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{8} - 2 \frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{8} - 2 \frac{8}{8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} - 2 \frac{8}{8 - 1}$

Schritt 9.1.1.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{1}{8} - 2 (\frac{8}{7})$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 2 (\frac{8}{7})$ .

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Schritt 9.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8}{7}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{7}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 16}{7}$

Schritt 9.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{8} - \frac{16}{7}$

Schritt 9.2

Um $\frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7}{7} - \frac{16}{7}$

Schritt 9.3

Um $- \frac{16}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{7}{7} - \frac{16}{7} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 9.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $56$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{8 \cdot 7} - \frac{16}{7} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$\frac{7}{56} - \frac{16}{7} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 9.4.3

Mutltipliziere $\frac{16}{7}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7}{56} - \frac{16 \cdot 8}{7 \cdot 8}$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{7}{56} - \frac{16 \cdot 8}{56}$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 - 16 \cdot 8}{56}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $8$ .

$\frac{7 - 128}{56}$

Schritt 9.6.2

Subtrahiere $128$ von $7$ .

$\frac{- 121}{56}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{121}{56}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{121}{56}$

Dezimalform:

$- 2.16071428 \dots$